Mathedings Nr. 18 - Zahlengitter

16. März 2012

Wir betrachten ein unendliches Gitter mit natürlichen Zahlen, also quasi eine Abbildung f : \mathbb{Z}^2 \rightarrow \mathbb{N} . Die Verteilung der Zahlen habe die Eigenschaft, dass jede Zahl genau der Mittelwert der vier umliegenden Zahlen ist, also für alle x, y \in \mathbb{Z} gilt f(x,y) = \frac{1}{4} \cdot (f(x+1,y) + f(x,y+1) + f(x-1,y) + f(x,y-1)) . Es gelte außerdem f(0,0) = 10301 .

Was lässt sich unter diesen Voraussetzungen über f(17,31) sagen?

Mojang Live-Stream

19. Februar 2012

Die kreativen Köpfe aus der schwedischen Spiele-Schmiede Mojang programmieren an diesem Wochenende ein komplettes Spiel. Sie haben bei Null angefangen und man kann die Entwicklung komplett im Live-Stream verfolgen.

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Mathedings Nr. 17 - Teilfolgenoperator

16. Februar 2012

Betrachten wir eine streng monoton steigende Folge von natülichen Zahlen, also (a_n)_{n \in \mathbb{N}} mit a_1 < a_2 < a_3 < \ldots und a_i \in \mathbb{N} für alle i \in \mathbb{N} . Sei A die Menge all dieser Folgen. Wir können die Elemente von A auch problemlos mit unendlichen Teilmengen der natürlichen Zahlen identifizieren, die Auffasssung als Folge dient nur der folgenden Definition:

Und zwar definieren wir jetzt unseren Teilfolgenoperator: T:A \rightarrow A mit T((a_n)_{n \in \mathbb{N}}) := (a_{a_n})_{n \in \mathbb{N}} .

Wir bilden also eine Teilfolge (bzw. Teilmenge), deren Indizes gerade durch die Folge selbst gegeben werden.

Bemerkung: T ist kein Operator im Sinne der Funktionalanalysis, aber da T Folgen auf Folgen abbildet war die Namensgebung naheliegend.

Und die Fragen lauten (mal wieder): Ist T injektiv und ist T surjektiv?

 

Teekesselchen

31. Januar 2012

Welche beiden (phonetisch gleichen) Ausdrücke sind gesucht?

1. Dies könnte man jemanden bitten, der bei einem Spiel schon lange klare Gewinnchancen hat und nur noch den Sack zu machen soll.

2. Ein Maß hat diese Eigenschaft, wenn die zugehörige Grundmenge durch Mengen endlichen Maßes approximiert werden kann.

Mathedings Nr. 16 - Anteilnahme

16. Januar 2012

In Mathdings Nr. 4 ging es einmal um eine Funktion, die einer Teilmenge von \mathbb{N} quasi ihren "Anteil" in \mathbb{N} zugeordnet hat:

f(S) := \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\#\{s \in S : s \leq n\} \cdot \frac{1}{n}}

Mir war damals leider gar nicht aufgefallen, dass diese Funktion nicht wohldefiniert ist. Tatsächlich gibt es Mengen, für die der Grenzwert auf der rechten Seite nicht existiert. Wir wollen uns daher heute das Mengensystem D = \{S \subseteq \mathbb{N} : f(S) \text{ ist definiert}\} genauer ansehen.

(1) Zeige: S \subseteq \mathbb{N}, |S| < \infty \Rightarrow f(S) = 0 , aber die Umkehrung gilt nicht.

(2) Nenne eine Menge S \subseteq \mathbb{N} mit S \notin D .

(3) D ist ein seltsames Mengensystem. Es gibt nämlich A, B \in D , sodass A \cup B \notin D . Kannst Du solche Mengen A und B nennen?

Mathedings Nr. 15 - Schubfachprinzip

16. Dezember 2011

Heute mal eine Aufgabe für Zwischendurch:

Zeige, dass man aus einer Menge von n natürlichen Zahlen (ohne Null) einige (mindestens eine) so auswählen kann, dass die Summe der ausgewählten Zahlen durch n teilbar ist.

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