Mathedings Nr. 25 - Schau mir in die Augen, Kleines

9. September 2013

Auf einer kleinen Einsamen Insel lebt ein Volksstamm mit einer überschaubaren Anzahl von Mitgliedern. Jeder hat blaue oder braune Augen. Eine Tradition besagt, dass niemand seine eigene Augenfarbe kennen darf, weshalb es keine reflektierenden Flächen auf der Insel gibt und auch niemand über die Augenfarbe der anderen spricht. Die Tradition besagt weiterhin, dass jeder, der seine Augenfarbe herausfindet, beim nächsten täglich stattfindenden gemeinsamen Abendessen einen rituellen Selbstmord begehen muss.

Eines Tages kommt ein Forscher auf die Insel, welcher bei seiner Abreise zu gesamten Stamm spricht und dabei anmerkt, wie harmonisch er das Zusammenleben von braun- und blauäugigen Menschen erlebt hat.

Was passiert nach der Abreise des Forschers und warum? Wir gehen hierbei davon aus, dass alle Mitglieder des Volksstammes streng logisch denken.

Ein Paradoxon

2. Juni 2013

Betreibt man Mathematik völlig formal, so kann man etwa mit einigen Axiomen der Logik und Mengenlehre starten, um dann Stück für Stück neue Theoreme zu erschließen, wie es etwa bei dem Metamath-Projekt geschieht. Jedes Theorem ist eine Folge von Symbolen, die eigentlich keine Bedeutung hat. Sie geht einfach aus den zu Anfang festgelegten Regeln hervor. Wir haben die Regeln bloß zufällig so gewählt, dass die Symbolfolgen für uns Sinn ergeben.

Nach einiger technischer Vorarbeit kann man schließlich natürliche Zahlen definieren, sowie Relationen etc. Betrachten wir nun die Längen von unseren Symbolfolgen. Steht \phi für eine Symbolfolge, so definieren wir l(\phi) als die Anzahl der Symbole von \phi . Zum Beispiel wäre l(\forall S (S \subseteq \mathbb{N} \wedge S \neq \emptyset \rightarrow \exists s (s\in S \wedge \forall t (t \in S \rightarrow s \leq t))) = 30 . Man überlege sich kurz, was diese Aussage eigentlich bedeutet, bevor man den nächsten Absatz liest.

Die eben formulierte Aussage lässt sich umgangssprachlich auch wie folgt ausdrücken: Jede nicht-leere Teilmenge von natürlichen Zahlen hat ein kleinstes Element. Wir überlegen uns nun, wie man überhaupt neue natürliche Zahlen definieren kann. Wir können etwa eine Aussage der Form n=4 \leftrightarrow \phi(n)  als Definition von 4 auffassen. Hierbei soll \phi(n) eine von n abhängige Formel sein, die für genau ein einziges n \in \mathbb{N} erfüllt ist. Zum Beispiel könnte \phi(n) die Formel n=1+1+1+1 sein. Es wäre dann l(n=1+1+1+1) = 9 . Es gibt also eine Definition der 4 mit Länge 9 .

Jetzt näheren wir uns unserem Paradoxon. Definieren wir nämlich nun die Zahl u durch n=u \leftrightarrow n= \min \{k \in \mathbb{N} : \text{Jede Definition } \phi(k) \text{ von } k \text{ hat } l(\phi(k)) > 100\} .

Die hier genannte Menge ist sicherlich nicht leer, denn es gibt nur endlich viele Möglichkeiten, eine Zeichenfolge aus 100 Zeichen zu schreiben. Nach dem oben genannten Satz existiert also ein Minimum in dieser Menge. Dieses hat die Eigenschaft, dass es keine Definition mit höchstens 100 Zeichen besitzt. Allerdings haben wir soeben eine Definition mit weniger als 100 Zeichen hingeschrieben.

Finde den Fehler!

Pippi Langstrumpf war nicht schlecht in Mathe!

16. April 2013

Es mag damals so gewirkt haben, als könnte Pippi Langstrumpf kein Mathe, denn schon im Intro-Lied hieß es:

Zwei mal drei macht vier
Widdewiddewitt und drei macht neune.

Doch tatsächlich sind das völlig korrekte Plutimikationen, wenn man alle Zahlen als Repräsentanten von Restklassen in \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z} auffasst. Später singt sie allerdings dann:

Drei mal drei macht sechs,
Widdewidde wer will's von mir lernen?

Sie hätte ruhig dazu sagen können, dass sie diesmal triviale Rechnungen in  \mathbb{Z} / 3\mathbb{Z} durchführt!

Ansonsten noch eine Anmerkung zum Blog: Die Seite war in den vergangenen 2 Wochen länger offline, was anscheinend an einem der WordPress-Plugins lag. Nachdem ich jetzt ein wenig rumprobiert habe, ist zumindest wieder alles lesbar, leider funktionieren jetzt jedoch einige Plugins nicht mehr. Ich werde dafür in nächster Zeit mal eine Lösung suchen. Außerdem werde ich mich bemühen, noch mehr mathematischen Inhalte zu bringen.

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Ideale veranschaulichen

13. März 2013

Kürzlich habe ich mich mit Idealen in kommutativen Ringen beschäftigt und mir hierzu einige Skizzen gemacht. Ich dachte mir, dass sich diese doch ideal für einen Blogeintrag eignen.

In einem kommutativen Ring mit Eins, den wir R nennen, ist ein Ideal I \subseteq R eine additive Untergruppe von R , für die zusätzlich noch a \cdot I \subseteq I für jedes a \in R gilt. Zunächst sind Ideale also einfach bestimmte Teilmengen von R , quasi Elemente der Potenzmenge von R . Auf der Potenzmenge existiert eine partielle Ordnung, gegeben durch die Inklusion.

Teilmengenbeziehung

Hier sehen wir eine Skizze für besagte Ordnung auf der Potenzmenge einer 4-elementigen Menge.  Im Allgemeinen betrachten wir natürlich größere Ringe, insbesondere unendliche, die dann überabzählbarviele Teilmengen haben. Die Skizze ist also nur als Schema zu verstehen: Wir wollen uns vorstellen, dass größere Mengen oben sind und kleinere Mengen unten. Sind 2 Mengen verbunden, so steht dies für die Inklusion der unteren in der oberen.

Wir blenden nun alle Punkte aus, die keine Ideale sind, und zeichnen in dem verbleibenden Graphen wieder Kanten für die Inklusion. Stets gibt es die Ideale R und \{0\} . Ist R ein Körper, so sind dies die einzigen, doch im Allgemeinen hat ein Ring viele weitere Ideale. Wir färben außerdem einige spezielle Ideale ein:

Ideale

Man beachte, dass der Schnitt von Idealen stets wieder ein Ideal ist, also hat eine Familie von Idealen stets einen gemeinsamen Nachfahren weiter unten im Graphen. Die Farben haben folgende Bedeutungen:

  • Pink sind Primideale, die keine weiteren Besonderheiten haben.
  • Rot steht für ein maximales Ideal. Ein Ideal M ist maximal, falls kein weiteres Ideal M \subset I \subset R existiert. Jedes maximale Ideal ist auch ein Primideal.
  • Türkis ist das Jacobson-Radikal. Es ist der Schnitt aller maximalen Ideale.
  • Grün ist das Nilradikal eingefärbt, welches der Schnitt sämtlicher Primideale ist. Es beinhaltet genau die nilpotenten Elemente von R . In unserem Beispiel ist R kein Integritätsring, da sonst \{0\} ein Primideal wäre und das Nilradikal mit diesem zusammenfallen würde.

Schränkt man sich noch weiter ein und betrachtet nur noch die Menge der Primideale, so gelangt man zum Begriff des Spektrums eines Ringes. Denn dieses ist definiert durch Spec(R) = \{P \subset R : P \text{ Primideal}\} . Auf dem Spektrum lässt sich eine Topologie definieren, die Zarisiki-Topologie. Sie wird z.B. dadurch gegeben, dass man die Mengen \{P \in Spec(R) : P \supset I\} für jedes Ideal I als abgeschlossen definiert. Somit wären abgeschlossene Mengen in unseren Skizzen trichterförmig. Man beachte, dass es tatsächlich viele Beispiele exisiteren, in denen Primideale ineinander enthalten sind. Im Polynomring \mathbb{Z}[X] sind etwa (X) \subset (X, 2) solche Ideale. (X, 2) ist hier sogar maximal.

Wir wollen uns nun noch den Begriff des Radikals eines Ideals veranschaulichen. Ist A ein Ideal, so ist das Radikal definiert durch r(A) = \{x \in R : x^n \in A \text{ fuer ein } n \in \mathbb{N}\} . Äquivalent hierzu ist, dass r(A) der Schnitt aller Primideale ist, die A enthalten. Der folgende Ausschnitt zeigt die Situation bildlich, wobei Primideale immer noch pink sind:

Man sieht leicht, dass in \mathbb{Z} das Radikal eines Ideals (p_1^{a_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}) gerade (p_1 \cdot \ldots \cdot p_k) ist.

Experiment: 28-Stunden-Tag (Teil 2)

27. Februar 2013

So, nun sind 13 Tage um und ich ziehe mal eine Bilanz:

Die durchschnittliche Schlafzeit waren bisher 9 h pro Schlaf, also 7:40 h pro Tag. Ich war also tatsächlich im Schnitt länger wach als normalerweise. Allerdings glaube ich nicht unbedingt, dass es ein Zeitgewinn war, denn letzten Sonntag war ich sehr müde und es war anstrengend, mich bis nachmittags wach zu halten. Und Zeit, die man nur damit verbringt, sich wachzuhalten, ist letztendlich nicht sinnvoll nutzbar. Sonntag war auch einer der ungewöhnlichsten Tage von den Aufstehzeiten her, ich bin nämlich am Samstag um 21 Uhr aufgestanden und war am Sonntag Morgen schon total müde.

Ansonsten ist es mir jedoch immer sehr leicht gefallen, die 4 Stunden länger wach zu bleiben. Besonders Dienstag und Mittwoch war es extrem einfach, da diese Tag ja relativ normal von den Aufstehzeiten her sind. An den beiden Dienstagen bin ich jeweils zwischen 5 und 6 Uhr morgens aufgestanden und erst nach 3 Uhr ins Bett gegangen. Allerdings ist es mir dienstags auch immer am schwersten gefallen, zu dieser frühen Zeit aufzustehen.

Wenn ich zu normalen Zeiten geschlafen habe, dann immer recht lange. An den Tagen, an denen ich tagsüber geschlafen habe und dann nachmittags oder abends aufgestanden bin, habe ich eher kurz geschlafen und bin auch öfter mal zwischendurch aufgewacht.

Anhand dieser Beobachtungen stelle ich mal folgende Vermutungen auf:

  • Eine Eule hat nicht unbedingt einen längeren Tagesrythmus, wie etwa 28 Stunden; wenn überhaupt, dann 25 oder 26 Stunden. Durch das Tageslicht wird man aber täglich auf den 24-Stunden-Tag kalibriert.
  • Vor allem liegt bei Eulen die natürliche Zu-Bett-Geh-Zeit später als bei Lerchen, sie ist quasi nur weiter nach hinten geschoben. An mehr oder weniger normalen Tagen kam es mir immer am natürlichsten vor, um 3 ins Bett zu gehen, egal ob ich um 5 oder um 12 aufgestanden bin. Genauso die Aufstehzeiten: Selbst bei gleicher vorangegangener Schlafdauer ist es mir stets leichter gefallen mittags oder gar nachmittags aufzustehen, als um 5 oder 6 Uhr morgens.

Ich bin mir jetzt gerade sehr unschlüssig, ob ich diesen Rythmus noch eine weitere Woche probieren soll. Schließlich habe ich nächsten Montag einen Termin früh morgens, der zwar gut in den 28-Stunden-Rythmus, aber weniger gut in den normalen Rythmus passt.

Experiment: 28-Stunden-Tag (Teil 1)

19. Februar 2013

Inspiriert durch diesen xkcd-Comic habe ich kürzlich ein Experiment begonnen: Den 28-Stunden-Tag.

Es kam dazu, weil ich zur Zeit Semesterferien habe und damit verbunden auch nur wenige feste Termine. Da ich eher dem Chronotyp Eule angehöre, hält mich in den Ferien wenig davon ab, täglich später ins Bett zu gehen und später aufzustehen. Bei Eulen kann man es sich im Gegensatz zu den Lerchen so vorstellen, dass die innere Uhr langsamer läuft und erst nach 25 oder 26 Stunden mit einem Tag fertig ist. Verpflichtungen zwingen einen jedoch, in der Woche früh aufzustehen, sodass der Schlafmangel dann meistens am Wochenende ausgeglichen werden muss. Der ein oder andere Leser mag sich nun vielleicht auch wiedererkennen, denn je nach Definition gehören bis zu 40% der Bevölkerung zu den Eulen.

Normalerweise ärgere ich mich darüber, wenn ich wieder so viel Zeit des Tages verschlafen habe und nicht mehr sinnvoll nutzen kann und auch das lange Aufbleiben am Abend vorher bringt mir bereits ein schlechtes Gewissen. Früher ins Bett zu gehen ist jedoch auch keine Alternative, wenn man einfach nicht müde genug ist, um einzuschlafen. Die Lösung für dieses Dilemma könnte nun der 28-Stunden-Tag sein. Ich habe mal eine Grafik erstellt, um den Ablauf zu verdeutlichen:

 

 

Aus dem Diagramm wird direkt deutlich, dass sich der Schlafrythmus wöchentlich wiederholt, denn tatsächlich passt der 28-Stunden-Tag genau 6 mal in eine Woche. Ich schlafe zwar erst seit 5 Tagen in diesem Rythmus, aber bisher überwiegen für mich tatsächlich die Vorteile:

  • Man bekommt jedes Mal 9 Stunden Schlaf am Stück, kann also stets ausschlafen.
  • Nach 19 Stunden ohne Schlaf fällt einem das Einschlafen nicht mehr schwer.
  • Man kann wöchentliche Termine wahrnehmen, sofern man den Rythmus einmal danach ausrichtet, an diesen wach zu sein.
  • Es ist (für Eulen) grundsätzlich einfacher, sich noch etwas länger wachzuhalten, als etwas früher schlafen zu gehen.
  • Man schläft täglich im Schnitt nur 7:40, was für mich weniger als in der Vorlesungszeit und deutlich weniger als in den normalen Ferien ist. Insgesamt ist es also ein Zeitgewinn!
  • Wem es zu wenig oder zu viel Schlaf ist, der kann das Modell ganz einfach auf 18/10 mit durschnittlich 8:35 Stunden Schlaf oder auf 20/8 mit durschnittlich 6:50 Stunden Schlaf anpassen.
  • Man bekommt immerhin noch 70% des Tageslichts mit, außerdem auch alle anderen Tages- und Nachtzeiten. Also kann man auch mal einen Spieleabend machen, dann noch nachts spazieren gehen, und am nächsten Morgen der erste in der Schlange beim Bürgeramt sein.

Folgende Nachteile sind mir bisher aufgefallen:

  • Man ist nicht mehr ganz so flexibel, was Termine angeht. Ich hatte das Glück, dass alle meine Termine in nächster Zeit in den Rythmus passen. Bei folgenden Terminen achte ich nun darauf, sie entsprechend zu legen. Insgesamt eignet sich das Modell also eher für Menschen, die ihre Zeit frei gestalten können und wenige feste Termin haben.
  • Ein 28-Stunden-Tag ist lang. Ein 26-Stunden-Tag wäre mir wohl noch lieber, denn gerade gegen Ende der Wach-Zeit kann es unangenehm werden, falls man schon sehr müde ist.
  • Die innere Uhr wird auch durch Tageslicht beeinflusst. Um tagsüber einzuschlafen oder nachts aufzustehen muss man also den Körper überlisten. Ersteres ist recht leicht, da man normalerweise müde genug ist und man z.B. das Schlafzimmer verdunkeln kann. Auch Letzteres ist mir bisher ganz gut gelungen, denn einerseits gibt es ja Wecker und andererseits ist es gar nicht schlimm, wenn man mal etwas länger schläft. Der Tag hat schließlich 28 Stunden! :D
  • Ich weiß nicht, ob es Gesundheitsrisiken mit sich bringt. Bisher fühle ich mich zumindest nicht schlechter oder müder als sonst, es kommt mir sogar recht erholsam vor.

So weit erstmal für heute, der nächste Bericht sollte bald folgen.

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