Mathedings Nr. 26 - Die Suche nach dem Winkel

2. November 2013

Es liegt ein Einheitsintervall im \mathbb{R}^2 herum (gemeint ist das Bild der Menge \{(x,0) : 0 \leq x \leq 1\} unter einer isometrischen Abbildung I:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 . Zur Vereinfachung der Notation definieren wir f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2 durch f(x) := I(x,0) .
Wir wollen herausfinden, um welchen Winkel unser Intervall gedreht wurde und dürfen dazu beliebig viele Fragen der Art "Ist die X/Y-Koordinate von f(x) rational/algebraisch/transzendent?" stellen. Ist dies möglich?

Mathevideos

22. Oktober 2013

Heute eröffne ich eine Serie von Mathematik-Videos, in denen ich Inhalte aus dem Studium motiviere und erkläre. Die Themen kommen aus den Bereichen Algebra, Analysis und Zahlentheorie und sollten meistens für Studenten ab dem dritten Semester nachvollziehbar sein. In der Videobeschreibung wird es jeweils eine detailliertere Auflistung der erforderlichen Vorkenntnisse geben.

Beginnen möchte ich mit einem Motivationsvideo zur Maßtheorie. Warum betreibt man Maßtheorie? Und worum geht es da genau? Das sollte das folgende Video hoffentlich beantworten. Über Feedback in den Kommentaren wäre ich sehr dankbar.

Catalans Vermutung

6. Oktober 2013

Wir betrachten heute mal eine bestimmte Menge von natürlichen Zahlen, und zwar all jene, die sich als echte Potenz einer natürlichen Zahl größer oder gleich 2 schreiben lassen. Einen ersten Überblick über diese Menge gibt uns die folgende Tabelle:

^2 ^3 ^4 ^5 ^6 ^7 ^8 ^9 \ldots
2 4 8 16 32 64 128 256 512
3 9 27 81 243 729 2187 6561
4 16 64 256 1024 4096
5 25 125 625 3125
6 36 216 1296
7 49 343 2401
8 64 512 4096
9 81 729 6561
10 100 1000
\vdots

Ich habe Zahlen mit mehr als 4 Stellen der Übersichtlichkeit wegen weggelassen. Aufsteigend geordnet bis 1000=10^3 erhalten wir also die Menge P = {4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, ...}.

Was fällt auf? Wir haben natürlich sehr viele Quadratzahlen und nur hier und da mal eine dritte oder höhere Potenz. Für höhere Zahlbereiche wird es diesbezüglich wohl eine etwas buntere Mischung geben. Aber nichts scheint direkt ins Auge zu springen.

Auch was der belgische Mathematiker Eugène Charles Catalan 1844 an dieser Menge entdeckte, würde man zunächst wahrscheinlich für einen Zufall halten: Ihm fiel auf, dass außer 8 und 9 sonst keine zwei direkt aufeinander folgenden natürlichen Zahlen zu finden sind.

Das kann doch nicht sein, oder? Wer denkt jetzt nicht daran, schnell ein Gegenbeispiel zu suchen? Die 25 und 27 kommen sich ja bereits wieder gefährlich nahe und auch bei 125 und 128 ist die Lücke ziemlich klein. Außerdem gibt es ja unendliche viele natürlichen Zahlen und wir bekommen immer mehr verschiedene Exponenten, je weiter wir gehen. Der Bereich von 1.000.000 bis 10.000.000 wird bereits von einem Netz aus zweiten, dritten, fünften, bis hin zu dreiundzwanzigsten Potenzen überspannt. Sind Potenzen wirklich solche Einzelgänger?

Ich spoilere ja ungern, aber die Antwort ist tatsächlich ja. Der Beweis gelang erst im Jahre 2002 dem Mathematiker Preda Mihăilescu, welcher heute an der Universität Göttingen lehrt.

Mathematischer Newsticker

30. September 2013

++++ Total unzusammenhängend: Professor stammelt etwas über Eigenschaften der Cantor-Menge ++++

++++ Maßlos enttäuscht: Stochastiker hatte sich das Oktoberfest anders vorgestellt ++++

++++ Polnisch: Fremdsprachiges Skript über separable und vollständig metrisierbare Räume aufgetaucht ++++

++++ Profit mit Funktoren: Garagenbauer möchte Bilanz unter Zuhilfenahme von Kategorientheorie aufbessern ++++

++++ Kokette: Topologe konnte ihr nicht widerstehen ++++

++++ Endlich: Mathematiker findet nach langem Grübeln eine Antwort ++++

++++ Keine Hinrichtung: Nordkoreanischem Mathematiker droht trotz eines unfertigen Beweises nur milde Strafe ++++

Das Spiel

26. September 2013

Kennst Du schon das Spiel, das man verliert, wenn man an das Spiel denkt? Nein? Dann kennst Du es ab jetzt. Und Du spielst es dein ganzes Leben lang. Und Du kannst nur verlieren!


Regelwerk

  • Wer an das Spiel denkt, verliert, es sei denn er befindet sich gerade in der Schutzphase.
  • Wer verliert, befindet sich von diesem Zeitpunkt an in einer 5-minütigen Schutzphase.
  • Wer durch die Handlung eines anderen, welche das Spiel thematisiert, an das Spiel erinnert wird, verliert nicht und befindet sich von diesem Zeitpunkt an in einer 5-minütigen Schutzphase. Dies gilt auch, wenn die Erinnerung auf einem Medium festgehalten ist (dazu zählen schriftliche Erinnerungen, Videos, Bilder, Audioaufnahmen, Chatnachrichten) und erst verspätet oder erneut stattgefunden hat.
  • Wer sich in der Schutzphase befindet und an das Spiel erinnert wird, dessen Schutzphase wird nicht verlängert. Eine Schutzphase ist immer genau 5 Minuten lang.
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Was ist Höhe?

12. September 2013

Mal kurz ein wenig Sprachphilosophie: Dinge, die auf einer eindimensionalen Skala gemessen werden können, bezeichnen wir manchmal mit hoch und tief. Beispielsweise nennen wir einen Berg hoch und ein Tal tief, da die Höhe des Berges größer ist als die des Tals.

Auch für Töne gibt es eine Skala und wir bezeichnen die Töne mit größeren Frequenzen als hoch und die mit niedrigeren Frequenzen als tief. Aber warum? Die Benennung kommt uns äußerst natürlich vor, doch gibt es irgendeine Erklärung dafür, dass wir die Skala der Tonhöhen so und nicht genau umgedreht benannt haben? Und warum tun es alle (mir bekannten) Sprachen auf der Welt genauso? Überall sind die tiefen Töne jene, die auf dem Klavier ganz links liegen und die hohen auf dem Klavier rechts.

Wer weiß eine Erklärung?

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