Mathedings Nr. 11 - Eckige Kreise

16. August 2011

Betrachten wir einen ausgefüllten, abgeschlossenen Kreis K_R((0,0)) = \{x \in \mathbb{R}^2 : ||x|| \leq R\} mit dem Radius R und dem Mittelpunkt (0,0). Wir füllen nun alle 1-mal-1-großen Quadrate mit ganzzahligen Eckpunkten aus, die vollständig im Kreis enthalten sind. Die entstandene Figur nennen wir A_R .

Nun betrachten wir wieder einen solchen Kreis, diesmal mit Radius r, und füllen diesmal alle 1-mal-1-großen Quadraten mit ganzzahligen Eckpunkten aus, die nicht komplett außerhalb des Kreises liegen. Die entstandene Figur nennen wir B_r .

A_R und B_r sind also beides "gerasterte" Kreise. Für manche Kombinationen von R und r entsteht genau die selbe Figur, wie man in der Abbildung sieht. In blau sind zu sehen A_5 , A_{5,1} und A_6 , in orange B_{4,4} , B_{4,6} und B_5 .

Frage: Für welche Paare (R, r) gilt A_R = B_r ?

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