Ein Paradoxon

2. Juni 2013

Betreibt man Mathematik völlig formal, so kann man etwa mit einigen Axiomen der Logik und Mengenlehre starten, um dann Stück für Stück neue Theoreme zu erschließen, wie es etwa bei dem Metamath-Projekt geschieht. Jedes Theorem ist eine Folge von Symbolen, die eigentlich keine Bedeutung hat. Sie geht einfach aus den zu Anfang festgelegten Regeln hervor. Wir haben die Regeln bloß zufällig so gewählt, dass die Symbolfolgen für uns Sinn ergeben.

Nach einiger technischer Vorarbeit kann man schließlich natürliche Zahlen definieren, sowie Relationen etc. Betrachten wir nun die Längen von unseren Symbolfolgen. Steht \phi für eine Symbolfolge, so definieren wir l(\phi) als die Anzahl der Symbole von \phi . Zum Beispiel wäre l(\forall S (S \subseteq \mathbb{N} \wedge S \neq \emptyset \rightarrow \exists s (s\in S \wedge \forall t (t \in S \rightarrow s \leq t))) = 30 . Man überlege sich kurz, was diese Aussage eigentlich bedeutet, bevor man den nächsten Absatz liest.

Die eben formulierte Aussage lässt sich umgangssprachlich auch wie folgt ausdrücken: Jede nicht-leere Teilmenge von natürlichen Zahlen hat ein kleinstes Element. Wir überlegen uns nun, wie man überhaupt neue natürliche Zahlen definieren kann. Wir können etwa eine Aussage der Form n=4 \leftrightarrow \phi(n)  als Definition von 4 auffassen. Hierbei soll \phi(n) eine von n abhängige Formel sein, die für genau ein einziges n \in \mathbb{N} erfüllt ist. Zum Beispiel könnte \phi(n) die Formel n=1+1+1+1 sein. Es wäre dann l(n=1+1+1+1) = 9 . Es gibt also eine Definition der 4 mit Länge 9 .

Jetzt näheren wir uns unserem Paradoxon. Definieren wir nämlich nun die Zahl u durch n=u \leftrightarrow n= \min \{k \in \mathbb{N} : \text{Jede Definition } \phi(k) \text{ von } k \text{ hat } l(\phi(k)) > 100\} .

Die hier genannte Menge ist sicherlich nicht leer, denn es gibt nur endlich viele Möglichkeiten, eine Zeichenfolge aus 100 Zeichen zu schreiben. Nach dem oben genannten Satz existiert also ein Minimum in dieser Menge. Dieses hat die Eigenschaft, dass es keine Definition mit höchstens 100 Zeichen besitzt. Allerdings haben wir soeben eine Definition mit weniger als 100 Zeichen hingeschrieben.

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