Ideale veranschaulichen

13. März 2013

Kürzlich habe ich mich mit Idealen in kommutativen Ringen beschäftigt und mir hierzu einige Skizzen gemacht. Ich dachte mir, dass sich diese doch ideal für einen Blogeintrag eignen.

In einem kommutativen Ring mit Eins, den wir R nennen, ist ein Ideal I \subseteq R eine additive Untergruppe von R , für die zusätzlich noch a \cdot I \subseteq I für jedes a \in R gilt. Zunächst sind Ideale also einfach bestimmte Teilmengen von R , quasi Elemente der Potenzmenge von R . Auf der Potenzmenge existiert eine partielle Ordnung, gegeben durch die Inklusion.

Teilmengenbeziehung

Hier sehen wir eine Skizze für besagte Ordnung auf der Potenzmenge einer 4-elementigen Menge.  Im Allgemeinen betrachten wir natürlich größere Ringe, insbesondere unendliche, die dann überabzählbarviele Teilmengen haben. Die Skizze ist also nur als Schema zu verstehen: Wir wollen uns vorstellen, dass größere Mengen oben sind und kleinere Mengen unten. Sind 2 Mengen verbunden, so steht dies für die Inklusion der unteren in der oberen.

Wir blenden nun alle Punkte aus, die keine Ideale sind, und zeichnen in dem verbleibenden Graphen wieder Kanten für die Inklusion. Stets gibt es die Ideale R und \{0\} . Ist R ein Körper, so sind dies die einzigen, doch im Allgemeinen hat ein Ring viele weitere Ideale. Wir färben außerdem einige spezielle Ideale ein:

Ideale

Man beachte, dass der Schnitt von Idealen stets wieder ein Ideal ist, also hat eine Familie von Idealen stets einen gemeinsamen Nachfahren weiter unten im Graphen. Die Farben haben folgende Bedeutungen:

  • Pink sind Primideale, die keine weiteren Besonderheiten haben.
  • Rot steht für ein maximales Ideal. Ein Ideal M ist maximal, falls kein weiteres Ideal M \subset I \subset R existiert. Jedes maximale Ideal ist auch ein Primideal.
  • Türkis ist das Jacobson-Radikal. Es ist der Schnitt aller maximalen Ideale.
  • Grün ist das Nilradikal eingefärbt, welches der Schnitt sämtlicher Primideale ist. Es beinhaltet genau die nilpotenten Elemente von R . In unserem Beispiel ist R kein Integritätsring, da sonst \{0\} ein Primideal wäre und das Nilradikal mit diesem zusammenfallen würde.

Schränkt man sich noch weiter ein und betrachtet nur noch die Menge der Primideale, so gelangt man zum Begriff des Spektrums eines Ringes. Denn dieses ist definiert durch Spec(R) = \{P \subset R : P \text{ Primideal}\} . Auf dem Spektrum lässt sich eine Topologie definieren, die Zarisiki-Topologie. Sie wird z.B. dadurch gegeben, dass man die Mengen \{P \in Spec(R) : P \supset I\} für jedes Ideal I als abgeschlossen definiert. Somit wären abgeschlossene Mengen in unseren Skizzen trichterförmig. Man beachte, dass es tatsächlich viele Beispiele exisiteren, in denen Primideale ineinander enthalten sind. Im Polynomring \mathbb{Z}[X] sind etwa (X) \subset (X, 2) solche Ideale. (X, 2) ist hier sogar maximal.

Wir wollen uns nun noch den Begriff des Radikals eines Ideals veranschaulichen. Ist A ein Ideal, so ist das Radikal definiert durch r(A) = \{x \in R : x^n \in A \text{ fuer ein } n \in \mathbb{N}\} . Äquivalent hierzu ist, dass r(A) der Schnitt aller Primideale ist, die A enthalten. Der folgende Ausschnitt zeigt die Situation bildlich, wobei Primideale immer noch pink sind:

Man sieht leicht, dass in \mathbb{Z} das Radikal eines Ideals (p_1^{a_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}) gerade (p_1 \cdot \ldots \cdot p_k) ist.

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