Catalans Vermutung

6. Oktober 2013

Wir betrachten heute mal eine bestimmte Menge von natürlichen Zahlen, und zwar all jene, die sich als echte Potenz einer natürlichen Zahl größer oder gleich 2 schreiben lassen. Einen ersten Überblick über diese Menge gibt uns die folgende Tabelle:

^2 ^3 ^4 ^5 ^6 ^7 ^8 ^9 \ldots
2 4 8 16 32 64 128 256 512
3 9 27 81 243 729 2187 6561
4 16 64 256 1024 4096
5 25 125 625 3125
6 36 216 1296
7 49 343 2401
8 64 512 4096
9 81 729 6561
10 100 1000
\vdots

Ich habe Zahlen mit mehr als 4 Stellen der Übersichtlichkeit wegen weggelassen. Aufsteigend geordnet bis 1000=10^3 erhalten wir also die Menge P = {4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, ...}.

Was fällt auf? Wir haben natürlich sehr viele Quadratzahlen und nur hier und da mal eine dritte oder höhere Potenz. Für höhere Zahlbereiche wird es diesbezüglich wohl eine etwas buntere Mischung geben. Aber nichts scheint direkt ins Auge zu springen.

Auch was der belgische Mathematiker Eugène Charles Catalan 1844 an dieser Menge entdeckte, würde man zunächst wahrscheinlich für einen Zufall halten: Ihm fiel auf, dass außer 8 und 9 sonst keine zwei direkt aufeinander folgenden natürlichen Zahlen zu finden sind.

Das kann doch nicht sein, oder? Wer denkt jetzt nicht daran, schnell ein Gegenbeispiel zu suchen? Die 25 und 27 kommen sich ja bereits wieder gefährlich nahe und auch bei 125 und 128 ist die Lücke ziemlich klein. Außerdem gibt es ja unendliche viele natürlichen Zahlen und wir bekommen immer mehr verschiedene Exponenten, je weiter wir gehen. Der Bereich von 1.000.000 bis 10.000.000 wird bereits von einem Netz aus zweiten, dritten, fünften, bis hin zu dreiundzwanzigsten Potenzen überspannt. Sind Potenzen wirklich solche Einzelgänger?

Ich spoilere ja ungern, aber die Antwort ist tatsächlich ja. Der Beweis gelang erst im Jahre 2002 dem Mathematiker Preda Mihăilescu, welcher heute an der Universität Göttingen lehrt.

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