Mathedings Nr. 17 - Teilfolgenoperator

16. Februar 2012

Betrachten wir eine streng monoton steigende Folge von natülichen Zahlen, also (a_n)_{n \in \mathbb{N}} mit a_1 < a_2 < a_3 < \ldots und a_i \in \mathbb{N} für alle i \in \mathbb{N} . Sei A die Menge all dieser Folgen. Wir können die Elemente von A auch problemlos mit unendlichen Teilmengen der natürlichen Zahlen identifizieren, die Auffasssung als Folge dient nur der folgenden Definition:

Und zwar definieren wir jetzt unseren Teilfolgenoperator: T:A \rightarrow A mit T((a_n)_{n \in \mathbb{N}}) := (a_{a_n})_{n \in \mathbb{N}} .

Wir bilden also eine Teilfolge (bzw. Teilmenge), deren Indizes gerade durch die Folge selbst gegeben werden.

Bemerkung: T ist kein Operator im Sinne der Funktionalanalysis, aber da T Folgen auf Folgen abbildet war die Namensgebung naheliegend.

Und die Fragen lauten (mal wieder): Ist T injektiv und ist T surjektiv?

 

Eine Antwort auf “Mathedings Nr. 17 - Teilfolgenoperator”

  1. André sagt:

    $T$ ist nicht surjektiv, denn auf Folgen mit $a_1 = 2$ wird nie abgebildet.

    Injektivität ist schwieriger...

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