Mathedings Nr. 16 - Anteilnahme

16. Januar 2012

In Mathdings Nr. 4 ging es einmal um eine Funktion, die einer Teilmenge von \mathbb{N} quasi ihren "Anteil" in \mathbb{N} zugeordnet hat:

f(S) := \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\#\{s \in S : s \leq n\} \cdot \frac{1}{n}}

Mir war damals leider gar nicht aufgefallen, dass diese Funktion nicht wohldefiniert ist. Tatsächlich gibt es Mengen, für die der Grenzwert auf der rechten Seite nicht existiert. Wir wollen uns daher heute das Mengensystem D = \{S \subseteq \mathbb{N} : f(S) \text{ ist definiert}\} genauer ansehen.

(1) Zeige: S \subseteq \mathbb{N}, |S| < \infty \Rightarrow f(S) = 0 , aber die Umkehrung gilt nicht.

(2) Nenne eine Menge S \subseteq \mathbb{N} mit S \notin D .

(3) D ist ein seltsames Mengensystem. Es gibt nämlich A, B \in D , sodass A \cup B \notin D . Kannst Du solche Mengen A und B nennen?

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