Mathedings Nr. 13 - Wurmhäuser

16. Oktober 2011

Definition:

  • Sei I das abgeschlossene Einheitsintervall. Eine differenzierbare Kurve \alpha : I \rightarrow \mathbb{R}^n mit Bogenlänge 1 heißt normierter n-dimensionaler Wurm.
  • Eine Teilmenge H von \mathbb{R}^n heißt ultimatives n-dimensionales Wurmhaus, falls jeder normierte n-dimensionale Wurm \alpha komplett in H untergebracht werden kann.*

*Damit ist gemeint, dass das Bild der Kurve durch eine Drehung und Verschiebung komplett nach H gebracht werden kann. Mathematisch ausgedrückt: Falls zwei Abbildungen f, g : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n , exisiteren mit folgenden Eigenschaften:
- f ist lineare Abbildung mit orthogonaler Darstellungsmatrix A und \det A = 1 .
- g(x) = x + c für ein c \in \mathbb{R}^n .
- f(g(\alpha(I))) \subseteq H


Frage:
Welches Volumen muss ein ultimatives n-dimensionales Wurmhaus H mindestens haben und wie genau sieht H aus?

 

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