Das Spiel

26. September 2013

Kennst Du schon das Spiel, das man verliert, wenn man an das Spiel denkt? Nein? Dann kennst Du es ab jetzt. Und Du spielst es dein ganzes Leben lang. Und Du kannst nur verlieren!


Regelwerk

  • Wer an das Spiel denkt, verliert, es sei denn er befindet sich gerade in der Schutzphase.
  • Wer verliert, befindet sich von diesem Zeitpunkt an in einer 5-minütigen Schutzphase.
  • Wer durch die Handlung eines anderen, welche das Spiel thematisiert, an das Spiel erinnert wird, verliert nicht und befindet sich von diesem Zeitpunkt an in einer 5-minütigen Schutzphase. Dies gilt auch, wenn die Erinnerung auf einem Medium festgehalten ist (dazu zählen schriftliche Erinnerungen, Videos, Bilder, Audioaufnahmen, Chatnachrichten) und erst verspätet oder erneut stattgefunden hat.
  • Wer sich in der Schutzphase befindet und an das Spiel erinnert wird, dessen Schutzphase wird nicht verlängert. Eine Schutzphase ist immer genau 5 Minuten lang.
0 Antworten Kategorien: Spiele

Was ist Höhe?

12. September 2013

Mal kurz ein wenig Sprachphilosophie: Dinge, die auf einer eindimensionalen Skala gemessen werden können, bezeichnen wir manchmal mit hoch und tief. Beispielsweise nennen wir einen Berg hoch und ein Tal tief, da die Höhe des Berges größer ist als die des Tals.

Auch für Töne gibt es eine Skala und wir bezeichnen die Töne mit größeren Frequenzen als hoch und die mit niedrigeren Frequenzen als tief. Aber warum? Die Benennung kommt uns äußerst natürlich vor, doch gibt es irgendeine Erklärung dafür, dass wir die Skala der Tonhöhen so und nicht genau umgedreht benannt haben? Und warum tun es alle (mir bekannten) Sprachen auf der Welt genauso? Überall sind die tiefen Töne jene, die auf dem Klavier ganz links liegen und die hohen auf dem Klavier rechts.

Wer weiß eine Erklärung?

Mathedings Nr. 25 - Schau mir in die Augen, Kleines

9. September 2013

Auf einer kleinen Einsamen Insel lebt ein Volksstamm mit einer überschaubaren Anzahl von Mitgliedern. Jeder hat blaue oder braune Augen. Eine Tradition besagt, dass niemand seine eigene Augenfarbe kennen darf, weshalb es keine reflektierenden Flächen auf der Insel gibt und auch niemand über die Augenfarbe der anderen spricht. Die Tradition besagt weiterhin, dass jeder, der seine Augenfarbe herausfindet, beim nächsten täglich stattfindenden gemeinsamen Abendessen einen rituellen Selbstmord begehen muss.

Eines Tages kommt ein Forscher auf die Insel, welcher bei seiner Abreise zu gesamten Stamm spricht und dabei anmerkt, wie harmonisch er das Zusammenleben von braun- und blauäugigen Menschen erlebt hat.

Was passiert nach der Abreise des Forschers und warum? Wir gehen hierbei davon aus, dass alle Mitglieder des Volksstammes streng logisch denken.

Ein Paradoxon

2. Juni 2013

Betreibt man Mathematik völlig formal, so kann man etwa mit einigen Axiomen der Logik und Mengenlehre starten, um dann Stück für Stück neue Theoreme zu erschließen, wie es etwa bei dem Metamath-Projekt geschieht. Jedes Theorem ist eine Folge von Symbolen, die eigentlich keine Bedeutung hat. Sie geht einfach aus den zu Anfang festgelegten Regeln hervor. Wir haben die Regeln bloß zufällig so gewählt, dass die Symbolfolgen für uns Sinn ergeben.

Nach einiger technischer Vorarbeit kann man schließlich natürliche Zahlen definieren, sowie Relationen etc. Betrachten wir nun die Längen von unseren Symbolfolgen. Steht \phi für eine Symbolfolge, so definieren wir l(\phi) als die Anzahl der Symbole von \phi . Zum Beispiel wäre l(\forall S (S \subseteq \mathbb{N} \wedge S \neq \emptyset \rightarrow \exists s (s\in S \wedge \forall t (t \in S \rightarrow s \leq t))) = 30 . Man überlege sich kurz, was diese Aussage eigentlich bedeutet, bevor man den nächsten Absatz liest.

Die eben formulierte Aussage lässt sich umgangssprachlich auch wie folgt ausdrücken: Jede nicht-leere Teilmenge von natürlichen Zahlen hat ein kleinstes Element. Wir überlegen uns nun, wie man überhaupt neue natürliche Zahlen definieren kann. Wir können etwa eine Aussage der Form n=4 \leftrightarrow \phi(n)  als Definition von 4 auffassen. Hierbei soll \phi(n) eine von n abhängige Formel sein, die für genau ein einziges n \in \mathbb{N} erfüllt ist. Zum Beispiel könnte \phi(n) die Formel n=1+1+1+1 sein. Es wäre dann l(n=1+1+1+1) = 9 . Es gibt also eine Definition der 4 mit Länge 9 .

Jetzt näheren wir uns unserem Paradoxon. Definieren wir nämlich nun die Zahl u durch n=u \leftrightarrow n= \min \{k \in \mathbb{N} : \text{Jede Definition } \phi(k) \text{ von } k \text{ hat } l(\phi(k)) > 100\} .

Die hier genannte Menge ist sicherlich nicht leer, denn es gibt nur endlich viele Möglichkeiten, eine Zeichenfolge aus 100 Zeichen zu schreiben. Nach dem oben genannten Satz existiert also ein Minimum in dieser Menge. Dieses hat die Eigenschaft, dass es keine Definition mit höchstens 100 Zeichen besitzt. Allerdings haben wir soeben eine Definition mit weniger als 100 Zeichen hingeschrieben.

Finde den Fehler!

Pippi Langstrumpf war nicht schlecht in Mathe!

16. April 2013

Es mag damals so gewirkt haben, als könnte Pippi Langstrumpf kein Mathe, denn schon im Intro-Lied hieß es:

Zwei mal drei macht vier
Widdewiddewitt und drei macht neune.

Doch tatsächlich sind das völlig korrekte Plutimikationen, wenn man alle Zahlen als Repräsentanten von Restklassen in \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z} auffasst. Später singt sie allerdings dann:

Drei mal drei macht sechs,
Widdewidde wer will's von mir lernen?

Sie hätte ruhig dazu sagen können, dass sie diesmal triviale Rechnungen in  \mathbb{Z} / 3\mathbb{Z} durchführt!

Ansonsten noch eine Anmerkung zum Blog: Die Seite war in den vergangenen 2 Wochen länger offline, was anscheinend an einem der WordPress-Plugins lag. Nachdem ich jetzt ein wenig rumprobiert habe, ist zumindest wieder alles lesbar, leider funktionieren jetzt jedoch einige Plugins nicht mehr. Ich werde dafür in nächster Zeit mal eine Lösung suchen. Außerdem werde ich mich bemühen, noch mehr mathematischen Inhalte zu bringen.

0 Antworten Kategorien: Blog, Lustiges

Ideale veranschaulichen

13. März 2013

Kürzlich habe ich mich mit Idealen in kommutativen Ringen beschäftigt und mir hierzu einige Skizzen gemacht. Ich dachte mir, dass sich diese doch ideal für einen Blogeintrag eignen.

In einem kommutativen Ring mit Eins, den wir R nennen, ist ein Ideal I \subseteq R eine additive Untergruppe von R , für die zusätzlich noch a \cdot I \subseteq I für jedes a \in R gilt. Zunächst sind Ideale also einfach bestimmte Teilmengen von R , quasi Elemente der Potenzmenge von R . Auf der Potenzmenge existiert eine partielle Ordnung, gegeben durch die Inklusion.

Teilmengenbeziehung

Hier sehen wir eine Skizze für besagte Ordnung auf der Potenzmenge einer 4-elementigen Menge.  Im Allgemeinen betrachten wir natürlich größere Ringe, insbesondere unendliche, die dann überabzählbarviele Teilmengen haben. Die Skizze ist also nur als Schema zu verstehen: Wir wollen uns vorstellen, dass größere Mengen oben sind und kleinere Mengen unten. Sind 2 Mengen verbunden, so steht dies für die Inklusion der unteren in der oberen.

Wir blenden nun alle Punkte aus, die keine Ideale sind, und zeichnen in dem verbleibenden Graphen wieder Kanten für die Inklusion. Stets gibt es die Ideale R und \{0\} . Ist R ein Körper, so sind dies die einzigen, doch im Allgemeinen hat ein Ring viele weitere Ideale. Wir färben außerdem einige spezielle Ideale ein:

Ideale

Man beachte, dass der Schnitt von Idealen stets wieder ein Ideal ist, also hat eine Familie von Idealen stets einen gemeinsamen Nachfahren weiter unten im Graphen. Die Farben haben folgende Bedeutungen:

  • Pink sind Primideale, die keine weiteren Besonderheiten haben.
  • Rot steht für ein maximales Ideal. Ein Ideal M ist maximal, falls kein weiteres Ideal M \subset I \subset R existiert. Jedes maximale Ideal ist auch ein Primideal.
  • Türkis ist das Jacobson-Radikal. Es ist der Schnitt aller maximalen Ideale.
  • Grün ist das Nilradikal eingefärbt, welches der Schnitt sämtlicher Primideale ist. Es beinhaltet genau die nilpotenten Elemente von R . In unserem Beispiel ist R kein Integritätsring, da sonst \{0\} ein Primideal wäre und das Nilradikal mit diesem zusammenfallen würde.

Schränkt man sich noch weiter ein und betrachtet nur noch die Menge der Primideale, so gelangt man zum Begriff des Spektrums eines Ringes. Denn dieses ist definiert durch Spec(R) = \{P \subset R : P \text{ Primideal}\} . Auf dem Spektrum lässt sich eine Topologie definieren, die Zarisiki-Topologie. Sie wird z.B. dadurch gegeben, dass man die Mengen \{P \in Spec(R) : P \supset I\} für jedes Ideal I als abgeschlossen definiert. Somit wären abgeschlossene Mengen in unseren Skizzen trichterförmig. Man beachte, dass es tatsächlich viele Beispiele exisiteren, in denen Primideale ineinander enthalten sind. Im Polynomring \mathbb{Z}[X] sind etwa (X) \subset (X, 2) solche Ideale. (X, 2) ist hier sogar maximal.

Wir wollen uns nun noch den Begriff des Radikals eines Ideals veranschaulichen. Ist A ein Ideal, so ist das Radikal definiert durch r(A) = \{x \in R : x^n \in A \text{ fuer ein } n \in \mathbb{N}\} . Äquivalent hierzu ist, dass r(A) der Schnitt aller Primideale ist, die A enthalten. Der folgende Ausschnitt zeigt die Situation bildlich, wobei Primideale immer noch pink sind:

Man sieht leicht, dass in \mathbb{Z} das Radikal eines Ideals (p_1^{a_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}) gerade (p_1 \cdot \ldots \cdot p_k) ist.

 < 1 2 3 >