Übungsaufgabe

21. November 2009

Sei (G,*) eine kommutative abelsche Gruppe. Weiterhin gelte für alle a,b aus G: a*b = b*a.

1) Beweisen Sie: Bezüglich der auf G definierten Operation spielt die Reihenfolge der Verknüpfung zweier Elemente keine Rolle.

2) Zeigen Sie, dass die stets die Vertauschbarkeit der Argumente bezüglich * gegeben ist.

Beweise

12. November 2009

Das schönste an mathematischen Beweisen sind immer noch die Hinrichtungen!

I will derive!

7. November 2009

Ein kleines Schmankerl für alle, die noch wissen, was Ableiten bedeutet:

In The Groove

14. Oktober 2009

Wow! Es gibt Menschen, die können in 24 Sekunden 128 Schritte machen...

Ein bisschen Mengelehre

11. Oktober 2009

Heute möchte ich mal etwas über Mengelehre schreiben. Sie ist ein interessantes Gebiet der Mathematik und gibt Anlass zu einigen Gedankenexperimenten. Als Ausgangspunkt stellen wir die Frage: "Wie viele Zahlen gibt es eigentlich?"

Diese Frage ist viel interessanter, als sie auf den ersten Blick vielleicht erscheinen mag.

Die einfachste Antwort auf diese Frage ist natürlich unendlich, aber so einfach wollen wir uns das nicht machen. Es gibt nämlich verschiedene Mengen von Zahlen und diese sind nicht alle gleich groß.

Beginnen wir mit den natürlichen Zahlen (1, 2, 3, 4, ...). Wir nennen diese Zahlenmenge abzählbar, denn wenn wir diese Folge fortsetzen, wird jede beliebige natürliche Zahl irgendwann vorkommen.

Nun machen wir uns mal Gedanken darum, wann zwei Zahlenmengen gleich groß sind: Da man unendliche Mengen nun mal schlecht durchzählen kann, überlegen wir uns einfach eine Art Vergleich. Wenn wir die Zahlen aus beiden Menge zu Paaren zusammenfassen können, sodass jeder Zahl aus Menge A eindeutig ein Zahl aus Menge B zugeordnet wird, und auch wirklich jede Zahl aus den beiden Menge in genau einem Paar enthalten ist, dann können wir sagen, die Mengen A und B sind gleich groß. Man sagt auch, A und B haben die selbe Mächtigkeit.

Ein anschauliches Beispiel: Wie haben eine Menge Töpfe und eine Menge Deckel und wollen wissen, ob wir von beiden gleich viele haben. Anstatt die beiden Mengen durchzuzählen, setzen wir einfach die Deckel auf die Töpfe. Wenn am Ende jeder Topf einen Deckel hat und kein Deckel übrig ist, dann haben wir genau so viele Töpfe wie Deckel.

Doch nun zurück zur Mathematik und zu einer anderen Zahlenmenge: Die rationalen Zahlen sind sämtliche Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen. Zum Beispiel 1/2, 102099.882 oder 22/7. Im 19. Jahrhundert fand der Mathematiker Georg Cantor eine elegante Art, die rationalen und die natürlichen Zahlen zu Paaren zusammenzufassen und zeigte somit, dass die rationalen Zahlen ebenfalls abzählbar sind. Dieses Verfahren ist als Cantors erstes Diagonalargument bekannt.

Mit seinem zweiten Diagonalargument zeigte er dann, dass die Menge der reellen Zahlen größer sein muss, da sie nicht abzählbar ist. Wir nennen die reellen Zahlen daher überabzählbar.

Nun kann man sich die reellen Zahlen nochmal genauer ansehen und bemerkt, dass die Menge aller Lösungen von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten eine abzählbare Menge ist, woraus direkt folgt, dass es noch eine weitere Gruppe von Zahlen gibt, denn die reellen Zahlen sind ja überabzählbar. Diese Zahlen werden transzendente Zahlen genannt. Die bekanntesten Beispiele für transzendente Zahlen sind Pi und e.

So, dass war jetzt mal ein Schnelldurchlauf durch die Mengen von Mengen, mit denen Mathematiker sich so herumschlagen. Ich hoffe, dass ich bei irgendjemandem hiermit Interesse wecken konnte! Wikipedia weiß übrigens noch viel mehr über Mengenlehre... ;)

The Secret of Monkey Island

10. Oktober 2009

smiManche Dinge verfolgenen einen, wenn es sein muss Jahre lang...

Obwohl ich immer ein großer Fan von Point-and-Click-Adventures war, bin ich nie dazu gekommen, den Klassiker "The Secret of Monkey Island" zu spielen. Aber wenn man dann doch immer wieder in völlig unterschiedlichen Zusammenhängen auf das Spiel aufmerksam gemacht wird, führt irgendwann kein Weg mehr vorbei.

Jetzt ist es also so weit, ich bin Guybrush Threepwood und möchte ein Pirat werden. Auf geht's in ein aufregendes Abenteuer mit verpixelter und dennoch liebevoller Grafik und gutem altem Chiptune-Sound! :)

Ach, und obwohl Komplettlösungen ja ganz BÖSE sind, möchte ich Euch diese etwas andere Art der Hilfe nicht vorenthalten:

The Secret of Monkey Island - Flash Film

2 Antworten Kategorien: Spiele
 < 1 2 3 4 5 6 7 >