Beweise

12. November 2009

Das schönste an mathematischen Beweisen sind immer noch die Hinrichtungen!

I will derive!

7. November 2009

Ein kleines Schmankerl für alle, die noch wissen, was Ableiten bedeutet:

Ein bisschen Mengelehre

11. Oktober 2009

Heute möchte ich mal etwas über Mengelehre schreiben. Sie ist ein interessantes Gebiet der Mathematik und gibt Anlass zu einigen Gedankenexperimenten. Als Ausgangspunkt stellen wir die Frage: "Wie viele Zahlen gibt es eigentlich?"

Diese Frage ist viel interessanter, als sie auf den ersten Blick vielleicht erscheinen mag.

Die einfachste Antwort auf diese Frage ist natürlich unendlich, aber so einfach wollen wir uns das nicht machen. Es gibt nämlich verschiedene Mengen von Zahlen und diese sind nicht alle gleich groß.

Beginnen wir mit den natürlichen Zahlen (1, 2, 3, 4, ...). Wir nennen diese Zahlenmenge abzählbar, denn wenn wir diese Folge fortsetzen, wird jede beliebige natürliche Zahl irgendwann vorkommen.

Nun machen wir uns mal Gedanken darum, wann zwei Zahlenmengen gleich groß sind: Da man unendliche Mengen nun mal schlecht durchzählen kann, überlegen wir uns einfach eine Art Vergleich. Wenn wir die Zahlen aus beiden Menge zu Paaren zusammenfassen können, sodass jeder Zahl aus Menge A eindeutig ein Zahl aus Menge B zugeordnet wird, und auch wirklich jede Zahl aus den beiden Menge in genau einem Paar enthalten ist, dann können wir sagen, die Mengen A und B sind gleich groß. Man sagt auch, A und B haben die selbe Mächtigkeit.

Ein anschauliches Beispiel: Wie haben eine Menge Töpfe und eine Menge Deckel und wollen wissen, ob wir von beiden gleich viele haben. Anstatt die beiden Mengen durchzuzählen, setzen wir einfach die Deckel auf die Töpfe. Wenn am Ende jeder Topf einen Deckel hat und kein Deckel übrig ist, dann haben wir genau so viele Töpfe wie Deckel.

Doch nun zurück zur Mathematik und zu einer anderen Zahlenmenge: Die rationalen Zahlen sind sämtliche Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen. Zum Beispiel 1/2, 102099.882 oder 22/7. Im 19. Jahrhundert fand der Mathematiker Georg Cantor eine elegante Art, die rationalen und die natürlichen Zahlen zu Paaren zusammenzufassen und zeigte somit, dass die rationalen Zahlen ebenfalls abzählbar sind. Dieses Verfahren ist als Cantors erstes Diagonalargument bekannt.

Mit seinem zweiten Diagonalargument zeigte er dann, dass die Menge der reellen Zahlen größer sein muss, da sie nicht abzählbar ist. Wir nennen die reellen Zahlen daher überabzählbar.

Nun kann man sich die reellen Zahlen nochmal genauer ansehen und bemerkt, dass die Menge aller Lösungen von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten eine abzählbare Menge ist, woraus direkt folgt, dass es noch eine weitere Gruppe von Zahlen gibt, denn die reellen Zahlen sind ja überabzählbar. Diese Zahlen werden transzendente Zahlen genannt. Die bekanntesten Beispiele für transzendente Zahlen sind Pi und e.

So, dass war jetzt mal ein Schnelldurchlauf durch die Mengen von Mengen, mit denen Mathematiker sich so herumschlagen. Ich hoffe, dass ich bei irgendjemandem hiermit Interesse wecken konnte! Wikipedia weiß übrigens noch viel mehr über Mengenlehre... ;)

Das kann doch nicht so schwer sein...

22. Februar 2009

... das Collatz-Problem!

Mathedings Nr. 2 - Die elektrischen Bauteile

13. Februar 2009

Man stelle sich ein elektrisches Gerät vor, welches aus n in Reihe geschalteten Bauteilen besteht. Es ist bekannt, dass von diesen Bauteilen genau 1 kaputt ist und keinen Strom leitet.

Man kann beliebig viele Messungen an aufeinanderfolgenden Bauteilen durchführen und feststellen, ob sich unter diesen das kaputte Bauteil befindet.

Die Aufgabe besteht nun darin, mit möglichst wenig Messungen das kaputte Bauteil zu identifizieren. Bei welcher Vorgehensweise liegt der Erwartungswert für die Anzahl der durchzuführenden Messungen am niedrigsten? Und warum?

Die Aufgabe kann auch so abgewandelt werden, dass nicht genau 1 Bauteil kaputt ist, sondern dass jedes Bauteil mit einer Wahrscheinlichkeit von p kaputt ist. Wie wirkt sich das auf die optimale Vorgehensweise aus?

Mathedings Nr. 1 - Eins Plus Gleich

2. Februar 2009

Als ich vor Kurzem mal nichts zu tun hatte und zufällig ein Taschenrechner anwesend war, spielte ich ein wenig damit herum und kam zu einer interessanten mathematischen Problemstellung:

Man drückt zunächst die Sequenz 1 + =. Danach dürfen nur noch die Tasten + und = in beliebiger Reihenfolge beliebig oft gedrückt werden, aber nie zweimal hintereinander +. Ziel ist es, dass die vom Taschenrechner angezeigte Zahl möglichst schnell wächst. Mit welcher Abfolge von + und = wird dies am effektivsten erreicht?

Update: Wie ein Taschenrechner auf die Eingaben reagiert ist offensichtlich von dem Gerät abhängig. Nur schlechte Taschenrechner können es! Bei schlechten Taschenrechnern passiert Folgendes: Zunächst ist die 1 auf dem Display zu sehen. Jedes Mal, wenn man die Sequenz + = eingibt, wird die aktuelle Zahl gespeichert. Bei jedem weiteren = wird die derzeit gespeicherte Zahl auf das Display dazu addiert.

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