Mathedings Nr. 12 - Halber Tacho

16. September 2011

Aus der Fahrschule kennen wir alle noch die Faustregel "Abstand halber Tacho", was bedeuten soll, dass der Abstand zum Vordermann in Metern mindestens halb so groß sein soll, wie die aktuelle Geschwindigkeit in Kilometern pro Stunde.

Nun ersetzen wir das mindestens gedanklich durch genau und machen das zu unserer neuen Regel. Wenn unser Vordermann jetzt mit einem stetigen Geschwindigkeitsverlauf vor uns her fährt, können wir diese Regel dann immer einhalten, unabhängig davon wie unser Vordermann beschleunigt und abbremst? Wenn ja, wie müssen wir fahren, damit wir die Regel einhalten?

Mathedings Nr. 11 - Eckige Kreise

16. August 2011

Betrachten wir einen ausgefüllten, abgeschlossenen Kreis K_R((0,0)) = \{x \in \mathbb{R}^2 : ||x|| \leq R\} mit dem Radius R und dem Mittelpunkt (0,0). Wir füllen nun alle 1-mal-1-großen Quadrate mit ganzzahligen Eckpunkten aus, die vollständig im Kreis enthalten sind. Die entstandene Figur nennen wir A_R .

Nun betrachten wir wieder einen solchen Kreis, diesmal mit Radius r, und füllen diesmal alle 1-mal-1-großen Quadraten mit ganzzahligen Eckpunkten aus, die nicht komplett außerhalb des Kreises liegen. Die entstandene Figur nennen wir B_r .

A_R und B_r sind also beides "gerasterte" Kreise. Für manche Kombinationen von R und r entsteht genau die selbe Figur, wie man in der Abbildung sieht. In blau sind zu sehen A_5 , A_{5,1} und A_6 , in orange B_{4,4} , B_{4,6} und B_5 .

Frage: Für welche Paare (R, r) gilt A_R = B_r ?

The limits of speedcubing

26. Juli 2011

Die übliche Methode, um eine Durchschnittszeit beim Speedcubing zu ermitteln, ist das fünfmalige Lösen, wobei die beste und schlechteste Zeit gestrichen werden und aus den übrigen drei das arithmetische Mittel gebildet wird.

Behauptung: Wenn Speedcubing sehr lange existiert, um genau zu sein unendlich lange, dann konvergiert die Folge der Rekorde für die Durchschnittszeit.

Beweis: Implizit haben wird behauptet, dass die Rekordzeiten überhaupt eine Folge bilden. Dies ist dann der Fall, wenn wir einen Rekord auch dann zählen, wenn er nur eingestellt wird. Denn ein einmal vollbrachter Rekord ist damit für Menschen möglich und es bedarf nur einer gewissen Zeit, bis wieder ein Mensch diesen Rekord einstellt oder sogar übertrifft. Da diese Zeit nach Voraussetzung immer vorhanden ist, haben wir also eine unendliche Folge von Zeiten, welche monoton fällt. Negative Zeiten sind nicht möglich, somit ist die Folge nach unten beschränkt. Damit erfüllt sie ein hinreichendes Konvergenzkriterium.

Nach Jessica Fridrichs Prognose (aus den 80ern?) liegt dieser Grenzwert bei etwa 5 Sekunden, was damals wohl kaum vorstellbar war, während sich nun - 30 Jahre später - die Rekorde langsam dieser Grenze nähern. Die Tabelle zeigt die derzeitigen Top-3, natürlich mit Links zu den Videos:

Platz Name Ergebnis Land Einzelzeiten Video
1 Feliks Zemdegs 7.64 Australien 7.03 8.11 8.36 5.66 7.78 Link
2 Piti Pichedpan 8.46 Thailand 8.15 8.71 8.50 10.08 8.16 Link
3 Giovanni Contardi 8.54 Italien 8.08 9.03 8.52 10.22 7.63 Link

Alle drei Rekorde wurden dieses Jahr aufgestellt und die (relativ) große Varianz deutet darauf hin, dass noch bessere Rekorde zu erwarten sind . Der 15 jährige Feliks Zemdegs hält übrigens auch noch 11 weitere Speedcubing-Weltrekorde.

Mathedings Nr. 10 - Flächenfüllende Kurve

16. Juli 2011

Eine Abbildung f:A \rightarrow B heißt surjektiv, wenn jedes Element aus B auch ein Urbild unter f besitzt. Umgangssprachlich: f "trifft" jedes Element von B.

Wir suchen nun eine Abbildung f:(0,1)\rightarrow(0,1)^3 , die
(i) surjektiv
(ii) surjektiv und stetig
ist.

Mathematische Sprachkunst

29. Juni 2011

4.8 Definition. Eine Singularität a einer analytischen Funktion [...] heißt wesentlich, falls sie nicht außerwesentlich ist. *)

*) Diese Definition ist ein eindrucksvolles Beispiel mathematischer "Sprachkunst".

Quelle: Busam, Freitag: Funktionentheorie 1, Seite 134

Mathedings Nr. 9 - Wieviele Topologien?

16. Juni 2011

Topologie, das ist diese tolle Teilgebiet der Mathematik, wo eine Kaffeetasse das selbe ist wie ein Donut. Doch bevor man sich solchen Dingen widmet, muss man sich mit den Grundlagen der Topologie vertraut machen, welche eher mengentheoretischer Natur sind. Der Begriff Topologie ist klar definiert und hat auf den ersten Blick rein gar nichts mit einem Donut zu tun:

Sei X eine Menge. Eine Menge von Teilmengen von X, die wir mit O bezeichnen wollen, heißt Topologie auf X, wenn gilt:

(i) Die leere Menge und X selbst liegen in O.
(ii) Der Schnitt von endlich vielen Elementen aus O liegt wieder in O.
(iii) Die Vereinigung von beliebig vielen Elementen aus O liegt wieder in O.

Man nennt die Elemente von O dann auch offene Mengen.

Ein Beispiel für eine Topologie auf einer 3-elementigen Menge X:

X=\{a, b, c\}, O=\{\emptyset, \{a\}, \{a, b\}, \{a, c\}, X\}

Sei nun X eine n-elementige Menge. Frage: Wie viele verschiedene Topologien gibt es auf X?

 < 1 2 3 4 5 6 7 8 >