Mathedings Nr. 17 - Teilfolgenoperator

16. Februar 2012

Betrachten wir eine streng monoton steigende Folge von natülichen Zahlen, also (a_n)_{n \in \mathbb{N}} mit a_1 < a_2 < a_3 < \ldots und a_i \in \mathbb{N} für alle i \in \mathbb{N} . Sei A die Menge all dieser Folgen. Wir können die Elemente von A auch problemlos mit unendlichen Teilmengen der natürlichen Zahlen identifizieren, die Auffasssung als Folge dient nur der folgenden Definition:

Und zwar definieren wir jetzt unseren Teilfolgenoperator: T:A \rightarrow A mit T((a_n)_{n \in \mathbb{N}}) := (a_{a_n})_{n \in \mathbb{N}} .

Wir bilden also eine Teilfolge (bzw. Teilmenge), deren Indizes gerade durch die Folge selbst gegeben werden.

Bemerkung: T ist kein Operator im Sinne der Funktionalanalysis, aber da T Folgen auf Folgen abbildet war die Namensgebung naheliegend.

Und die Fragen lauten (mal wieder): Ist T injektiv und ist T surjektiv?

 

Teekesselchen

31. Januar 2012

Welche beiden (phonetisch gleichen) Ausdrücke sind gesucht?

1. Dies könnte man jemanden bitten, der bei einem Spiel schon lange klare Gewinnchancen hat und nur noch den Sack zu machen soll.

2. Ein Maß hat diese Eigenschaft, wenn die zugehörige Grundmenge durch Mengen endlichen Maßes approximiert werden kann.

Mathedings Nr. 16 - Anteilnahme

16. Januar 2012

In Mathdings Nr. 4 ging es einmal um eine Funktion, die einer Teilmenge von \mathbb{N} quasi ihren "Anteil" in \mathbb{N} zugeordnet hat:

f(S) := \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\#\{s \in S : s \leq n\} \cdot \frac{1}{n}}

Mir war damals leider gar nicht aufgefallen, dass diese Funktion nicht wohldefiniert ist. Tatsächlich gibt es Mengen, für die der Grenzwert auf der rechten Seite nicht existiert. Wir wollen uns daher heute das Mengensystem D = \{S \subseteq \mathbb{N} : f(S) \text{ ist definiert}\} genauer ansehen.

(1) Zeige: S \subseteq \mathbb{N}, |S| < \infty \Rightarrow f(S) = 0 , aber die Umkehrung gilt nicht.

(2) Nenne eine Menge S \subseteq \mathbb{N} mit S \notin D .

(3) D ist ein seltsames Mengensystem. Es gibt nämlich A, B \in D , sodass A \cup B \notin D . Kannst Du solche Mengen A und B nennen?

Mathedings Nr. 15 - Schubfachprinzip

16. Dezember 2011

Heute mal eine Aufgabe für Zwischendurch:

Zeige, dass man aus einer Menge von n natürlichen Zahlen (ohne Null) einige (mindestens eine) so auswählen kann, dass die Summe der ausgewählten Zahlen durch n teilbar ist.

Mathedings Nr. 14 - Kofferverlust

16. November 2011

Wir machen Urlaub in Taiwan, unser Flugzeug ist in Hamburg gestartet und nach über 20 Stunden Flug mit Zwischenstopps in London und Hong Kong endlich in Taipei gelandet. Völlig erschöpft und müde warten wir an der Gepäckausgabe auf unseren Koffer, doch eine bittere Enttäuschung erwartet uns: Unser Koffer ist verloren gegangen!

Sei p die (an jedem Flughafen gleich große) Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Koffer beim Verladen verloren geht. Unser Koffer könnte also entweder in Hamburg, oder in London, oder in Hong Kong liegen. Wir wollen der Sache auf den Grund gehen: Bei welchem Flughafen sollten wir zuerst nachforschen, um mit möglichst großer Wahrscheinlichkeit unseren Koffer wieder zu finden? Oder sind alle drei Möglichkeiten gleich wahrscheinlich?

Mathedings Nr. 13 - Wurmhäuser

16. Oktober 2011

Definition:

  • Sei I das abgeschlossene Einheitsintervall. Eine differenzierbare Kurve \alpha : I \rightarrow \mathbb{R}^n mit Bogenlänge 1 heißt normierter n-dimensionaler Wurm.
  • Eine Teilmenge H von \mathbb{R}^n heißt ultimatives n-dimensionales Wurmhaus, falls jeder normierte n-dimensionale Wurm \alpha komplett in H untergebracht werden kann.*

*Damit ist gemeint, dass das Bild der Kurve durch eine Drehung und Verschiebung komplett nach H gebracht werden kann. Mathematisch ausgedrückt: Falls zwei Abbildungen f, g : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n , exisiteren mit folgenden Eigenschaften:
- f ist lineare Abbildung mit orthogonaler Darstellungsmatrix A und \det A = 1 .
- g(x) = x + c für ein c \in \mathbb{R}^n .
- f(g(\alpha(I))) \subseteq H


Frage:
Welches Volumen muss ein ultimatives n-dimensionales Wurmhaus H mindestens haben und wie genau sieht H aus?

 

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