Mathematischer Newsticker

30. September 2013

++++ Total unzusammenhängend: Professor stammelt etwas über Eigenschaften der Cantor-Menge ++++

++++ Maßlos enttäuscht: Stochastiker hatte sich das Oktoberfest anders vorgestellt ++++

++++ Polnisch: Fremdsprachiges Skript über separable und vollständig metrisierbare Räume aufgetaucht ++++

++++ Profit mit Funktoren: Garagenbauer möchte Bilanz unter Zuhilfenahme von Kategorientheorie aufbessern ++++

++++ Kokette: Topologe konnte ihr nicht widerstehen ++++

++++ Endlich: Mathematiker findet nach langem Grübeln eine Antwort ++++

++++ Keine Hinrichtung: Nordkoreanischem Mathematiker droht trotz eines unfertigen Beweises nur milde Strafe ++++

Mathedings Nr. 25 - Schau mir in die Augen, Kleines

9. September 2013

Auf einer kleinen Einsamen Insel lebt ein Volksstamm mit einer überschaubaren Anzahl von Mitgliedern. Jeder hat blaue oder braune Augen. Eine Tradition besagt, dass niemand seine eigene Augenfarbe kennen darf, weshalb es keine reflektierenden Flächen auf der Insel gibt und auch niemand über die Augenfarbe der anderen spricht. Die Tradition besagt weiterhin, dass jeder, der seine Augenfarbe herausfindet, beim nächsten täglich stattfindenden gemeinsamen Abendessen einen rituellen Selbstmord begehen muss.

Eines Tages kommt ein Forscher auf die Insel, welcher bei seiner Abreise zu gesamten Stamm spricht und dabei anmerkt, wie harmonisch er das Zusammenleben von braun- und blauäugigen Menschen erlebt hat.

Was passiert nach der Abreise des Forschers und warum? Wir gehen hierbei davon aus, dass alle Mitglieder des Volksstammes streng logisch denken.

Ein Paradoxon

2. Juni 2013

Betreibt man Mathematik völlig formal, so kann man etwa mit einigen Axiomen der Logik und Mengenlehre starten, um dann Stück für Stück neue Theoreme zu erschließen, wie es etwa bei dem Metamath-Projekt geschieht. Jedes Theorem ist eine Folge von Symbolen, die eigentlich keine Bedeutung hat. Sie geht einfach aus den zu Anfang festgelegten Regeln hervor. Wir haben die Regeln bloß zufällig so gewählt, dass die Symbolfolgen für uns Sinn ergeben.

Nach einiger technischer Vorarbeit kann man schließlich natürliche Zahlen definieren, sowie Relationen etc. Betrachten wir nun die Längen von unseren Symbolfolgen. Steht \phi für eine Symbolfolge, so definieren wir l(\phi) als die Anzahl der Symbole von \phi . Zum Beispiel wäre l(\forall S (S \subseteq \mathbb{N} \wedge S \neq \emptyset \rightarrow \exists s (s\in S \wedge \forall t (t \in S \rightarrow s \leq t))) = 30 . Man überlege sich kurz, was diese Aussage eigentlich bedeutet, bevor man den nächsten Absatz liest.

Die eben formulierte Aussage lässt sich umgangssprachlich auch wie folgt ausdrücken: Jede nicht-leere Teilmenge von natürlichen Zahlen hat ein kleinstes Element. Wir überlegen uns nun, wie man überhaupt neue natürliche Zahlen definieren kann. Wir können etwa eine Aussage der Form n=4 \leftrightarrow \phi(n)  als Definition von 4 auffassen. Hierbei soll \phi(n) eine von n abhängige Formel sein, die für genau ein einziges n \in \mathbb{N} erfüllt ist. Zum Beispiel könnte \phi(n) die Formel n=1+1+1+1 sein. Es wäre dann l(n=1+1+1+1) = 9 . Es gibt also eine Definition der 4 mit Länge 9 .

Jetzt näheren wir uns unserem Paradoxon. Definieren wir nämlich nun die Zahl u durch n=u \leftrightarrow n= \min \{k \in \mathbb{N} : \text{Jede Definition } \phi(k) \text{ von } k \text{ hat } l(\phi(k)) > 100\} .

Die hier genannte Menge ist sicherlich nicht leer, denn es gibt nur endlich viele Möglichkeiten, eine Zeichenfolge aus 100 Zeichen zu schreiben. Nach dem oben genannten Satz existiert also ein Minimum in dieser Menge. Dieses hat die Eigenschaft, dass es keine Definition mit höchstens 100 Zeichen besitzt. Allerdings haben wir soeben eine Definition mit weniger als 100 Zeichen hingeschrieben.

Finde den Fehler!

Ideale veranschaulichen

13. März 2013

Kürzlich habe ich mich mit Idealen in kommutativen Ringen beschäftigt und mir hierzu einige Skizzen gemacht. Ich dachte mir, dass sich diese doch ideal für einen Blogeintrag eignen.

In einem kommutativen Ring mit Eins, den wir R nennen, ist ein Ideal I \subseteq R eine additive Untergruppe von R , für die zusätzlich noch a \cdot I \subseteq I für jedes a \in R gilt. Zunächst sind Ideale also einfach bestimmte Teilmengen von R , quasi Elemente der Potenzmenge von R . Auf der Potenzmenge existiert eine partielle Ordnung, gegeben durch die Inklusion.

Teilmengenbeziehung

Hier sehen wir eine Skizze für besagte Ordnung auf der Potenzmenge einer 4-elementigen Menge.  Im Allgemeinen betrachten wir natürlich größere Ringe, insbesondere unendliche, die dann überabzählbarviele Teilmengen haben. Die Skizze ist also nur als Schema zu verstehen: Wir wollen uns vorstellen, dass größere Mengen oben sind und kleinere Mengen unten. Sind 2 Mengen verbunden, so steht dies für die Inklusion der unteren in der oberen.

Wir blenden nun alle Punkte aus, die keine Ideale sind, und zeichnen in dem verbleibenden Graphen wieder Kanten für die Inklusion. Stets gibt es die Ideale R und \{0\} . Ist R ein Körper, so sind dies die einzigen, doch im Allgemeinen hat ein Ring viele weitere Ideale. Wir färben außerdem einige spezielle Ideale ein:

Ideale

Man beachte, dass der Schnitt von Idealen stets wieder ein Ideal ist, also hat eine Familie von Idealen stets einen gemeinsamen Nachfahren weiter unten im Graphen. Die Farben haben folgende Bedeutungen:

  • Pink sind Primideale, die keine weiteren Besonderheiten haben.
  • Rot steht für ein maximales Ideal. Ein Ideal M ist maximal, falls kein weiteres Ideal M \subset I \subset R existiert. Jedes maximale Ideal ist auch ein Primideal.
  • Türkis ist das Jacobson-Radikal. Es ist der Schnitt aller maximalen Ideale.
  • Grün ist das Nilradikal eingefärbt, welches der Schnitt sämtlicher Primideale ist. Es beinhaltet genau die nilpotenten Elemente von R . In unserem Beispiel ist R kein Integritätsring, da sonst \{0\} ein Primideal wäre und das Nilradikal mit diesem zusammenfallen würde.

Schränkt man sich noch weiter ein und betrachtet nur noch die Menge der Primideale, so gelangt man zum Begriff des Spektrums eines Ringes. Denn dieses ist definiert durch Spec(R) = \{P \subset R : P \text{ Primideal}\} . Auf dem Spektrum lässt sich eine Topologie definieren, die Zarisiki-Topologie. Sie wird z.B. dadurch gegeben, dass man die Mengen \{P \in Spec(R) : P \supset I\} für jedes Ideal I als abgeschlossen definiert. Somit wären abgeschlossene Mengen in unseren Skizzen trichterförmig. Man beachte, dass es tatsächlich viele Beispiele exisiteren, in denen Primideale ineinander enthalten sind. Im Polynomring \mathbb{Z}[X] sind etwa (X) \subset (X, 2) solche Ideale. (X, 2) ist hier sogar maximal.

Wir wollen uns nun noch den Begriff des Radikals eines Ideals veranschaulichen. Ist A ein Ideal, so ist das Radikal definiert durch r(A) = \{x \in R : x^n \in A \text{ fuer ein } n \in \mathbb{N}\} . Äquivalent hierzu ist, dass r(A) der Schnitt aller Primideale ist, die A enthalten. Der folgende Ausschnitt zeigt die Situation bildlich, wobei Primideale immer noch pink sind:

Man sieht leicht, dass in \mathbb{Z} das Radikal eines Ideals (p_1^{a_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}) gerade (p_1 \cdot \ldots \cdot p_k) ist.

Mathedings Nr. 24

16. September 2012

Wir wollen ein regelmäßiges n -Eck auf unser (beliebig großes) Blatt kariertes Papier zeichnen und dabei soll jeder Eckpunkt auf einer Kreuzung liegen. Für welche n \geq 3 ist dies möglich?

Mathedings Nr. 23 - Das Primzahlspiel

19. August 2012

Zur 23. Ausgabe gibt es mal wieder etwas mit Primzahlen. Wir stellen uns vor, dass A und B gemeinsam ein Spiel spielen. Zuerst denkt A sich eine beliebige natürliche Zahl n aus. Dann nennt B nach und nach beliebige natürliche Zahlen und A antwortet jedes Mal, ob die Summe aus n und der von B genannten Zahl eine Primzahl ist, oder nicht.

Frage: Kann B stets mit endlich vielen Fragen die Zahl n herausfinden? Wenn ja, wie?

Danke an Jens, der mir dieses Rätsel gestellt hat.

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