Mathedings Nr. 3 - Punkte auf einer Kugel

20. Dezember 2009

Heute mal wieder ein ernst gemeintes Rätsel:

Stellen wir uns eine (erstmal dreidimensionale) Kugel vor. Nun wollen wir n Punkte auf den Rand der Kugel verteilen, sodass der kleinste auftretende Abstand zwischen zwei beliebigen verschiedenen Punkte maximal wird. Sei a(n) dieser Abstand.

Die Fälle n=2, n=3 und n=4 sind relativ klar, doch was ist mit dem Fall n=5?

Gibt es eine explizite Formel für a(n)?

Ist a(n) streng monoton fallend?

Viel Spaß beim Nachdenken und noch einen schönen vierten Advent!

Mathedings Nr. 2 - Die elektrischen Bauteile

13. Februar 2009

Man stelle sich ein elektrisches Gerät vor, welches aus n in Reihe geschalteten Bauteilen besteht. Es ist bekannt, dass von diesen Bauteilen genau 1 kaputt ist und keinen Strom leitet.

Man kann beliebig viele Messungen an aufeinanderfolgenden Bauteilen durchführen und feststellen, ob sich unter diesen das kaputte Bauteil befindet.

Die Aufgabe besteht nun darin, mit möglichst wenig Messungen das kaputte Bauteil zu identifizieren. Bei welcher Vorgehensweise liegt der Erwartungswert für die Anzahl der durchzuführenden Messungen am niedrigsten? Und warum?

Die Aufgabe kann auch so abgewandelt werden, dass nicht genau 1 Bauteil kaputt ist, sondern dass jedes Bauteil mit einer Wahrscheinlichkeit von p kaputt ist. Wie wirkt sich das auf die optimale Vorgehensweise aus?

Mathedings Nr. 1 - Eins Plus Gleich

2. Februar 2009

Als ich vor Kurzem mal nichts zu tun hatte und zufällig ein Taschenrechner anwesend war, spielte ich ein wenig damit herum und kam zu einer interessanten mathematischen Problemstellung:

Man drückt zunächst die Sequenz 1 + =. Danach dürfen nur noch die Tasten + und = in beliebiger Reihenfolge beliebig oft gedrückt werden, aber nie zweimal hintereinander +. Ziel ist es, dass die vom Taschenrechner angezeigte Zahl möglichst schnell wächst. Mit welcher Abfolge von + und = wird dies am effektivsten erreicht?

Update: Wie ein Taschenrechner auf die Eingaben reagiert ist offensichtlich von dem Gerät abhängig. Nur schlechte Taschenrechner können es! Bei schlechten Taschenrechnern passiert Folgendes: Zunächst ist die 1 auf dem Display zu sehen. Jedes Mal, wenn man die Sequenz + = eingibt, wird die aktuelle Zahl gespeichert. Bei jedem weiteren = wird die derzeit gespeicherte Zahl auf das Display dazu addiert.

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