Mathedings Nr. 15 - Schubfachprinzip

16. Dezember 2011

Heute mal eine Aufgabe für Zwischendurch:

Zeige, dass man aus einer Menge von n natürlichen Zahlen (ohne Null) einige (mindestens eine) so auswählen kann, dass die Summe der ausgewählten Zahlen durch n teilbar ist.

Mathedings Nr. 14 - Kofferverlust

16. November 2011

Wir machen Urlaub in Taiwan, unser Flugzeug ist in Hamburg gestartet und nach über 20 Stunden Flug mit Zwischenstopps in London und Hong Kong endlich in Taipei gelandet. Völlig erschöpft und müde warten wir an der Gepäckausgabe auf unseren Koffer, doch eine bittere Enttäuschung erwartet uns: Unser Koffer ist verloren gegangen!

Sei p die (an jedem Flughafen gleich große) Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Koffer beim Verladen verloren geht. Unser Koffer könnte also entweder in Hamburg, oder in London, oder in Hong Kong liegen. Wir wollen der Sache auf den Grund gehen: Bei welchem Flughafen sollten wir zuerst nachforschen, um mit möglichst großer Wahrscheinlichkeit unseren Koffer wieder zu finden? Oder sind alle drei Möglichkeiten gleich wahrscheinlich?

Mathedings Nr. 13 - Wurmhäuser

16. Oktober 2011

Definition:

  • Sei I das abgeschlossene Einheitsintervall. Eine differenzierbare Kurve \alpha : I \rightarrow \mathbb{R}^n mit Bogenlänge 1 heißt normierter n-dimensionaler Wurm.
  • Eine Teilmenge H von \mathbb{R}^n heißt ultimatives n-dimensionales Wurmhaus, falls jeder normierte n-dimensionale Wurm \alpha komplett in H untergebracht werden kann.*

*Damit ist gemeint, dass das Bild der Kurve durch eine Drehung und Verschiebung komplett nach H gebracht werden kann. Mathematisch ausgedrückt: Falls zwei Abbildungen f, g : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n , exisiteren mit folgenden Eigenschaften:
- f ist lineare Abbildung mit orthogonaler Darstellungsmatrix A und \det A = 1 .
- g(x) = x + c für ein c \in \mathbb{R}^n .
- f(g(\alpha(I))) \subseteq H


Frage:
Welches Volumen muss ein ultimatives n-dimensionales Wurmhaus H mindestens haben und wie genau sieht H aus?

 

Mathedings Nr. 12 - Halber Tacho

16. September 2011

Aus der Fahrschule kennen wir alle noch die Faustregel "Abstand halber Tacho", was bedeuten soll, dass der Abstand zum Vordermann in Metern mindestens halb so groß sein soll, wie die aktuelle Geschwindigkeit in Kilometern pro Stunde.

Nun ersetzen wir das mindestens gedanklich durch genau und machen das zu unserer neuen Regel. Wenn unser Vordermann jetzt mit einem stetigen Geschwindigkeitsverlauf vor uns her fährt, können wir diese Regel dann immer einhalten, unabhängig davon wie unser Vordermann beschleunigt und abbremst? Wenn ja, wie müssen wir fahren, damit wir die Regel einhalten?

Mathedings Nr. 11 - Eckige Kreise

16. August 2011

Betrachten wir einen ausgefüllten, abgeschlossenen Kreis K_R((0,0)) = \{x \in \mathbb{R}^2 : ||x|| \leq R\} mit dem Radius R und dem Mittelpunkt (0,0). Wir füllen nun alle 1-mal-1-großen Quadrate mit ganzzahligen Eckpunkten aus, die vollständig im Kreis enthalten sind. Die entstandene Figur nennen wir A_R .

Nun betrachten wir wieder einen solchen Kreis, diesmal mit Radius r, und füllen diesmal alle 1-mal-1-großen Quadraten mit ganzzahligen Eckpunkten aus, die nicht komplett außerhalb des Kreises liegen. Die entstandene Figur nennen wir B_r .

A_R und B_r sind also beides "gerasterte" Kreise. Für manche Kombinationen von R und r entsteht genau die selbe Figur, wie man in der Abbildung sieht. In blau sind zu sehen A_5 , A_{5,1} und A_6 , in orange B_{4,4} , B_{4,6} und B_5 .

Frage: Für welche Paare (R, r) gilt A_R = B_r ?

Mathedings Nr. 10 - Flächenfüllende Kurve

16. Juli 2011

Eine Abbildung f:A \rightarrow B heißt surjektiv, wenn jedes Element aus B auch ein Urbild unter f besitzt. Umgangssprachlich: f "trifft" jedes Element von B.

Wir suchen nun eine Abbildung f:(0,1)\rightarrow(0,1)^3 , die
(i) surjektiv
(ii) surjektiv und stetig
ist.

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