Mathedings Nr. 21 - Primzahllücken

16. Juni 2012

Ich habe neulich gelesen, dass man in den natürlichen Zahlen beliebig große Primzahllücken findet, also für jedes n \in \mathbb{N} existiert ein k \in \mathbb{N} , sodass sich in unter den n aufeinanderfolgenden Zahlen k, k+1, k+2, \ldots, k+(n-1) keine Primzahl befindet.

Wie findet man für gegebenes n ein solchen k ? Wie findet man ein möglichst minimales k ?

Mathedings Nr. 20 - Verwechslung beim Pokern

16. Mai 2012

Wir pokern weiter:

Ein Spieler macht einen Einsatz und legt x rote und y blaue Chips in die Mitte. Leider hat er sich mit der Anzahl vertan, er wollte eigentlich y rote und x blaue Chips setzen. Lustigerweise hat er dadurch genau das doppelte von dem gesetzt, was er eigentlich setzen wollte.

Der Wert eines roten Chips sei r und der eines blauen sei b .

1. Welche Möglichkeiten kommen für x und y in Frage?

2. Angenommen, er hätte seinen Einsatz durch das Vertauschen der Farben ver- n -facht. Welche Werte kämen dann in Frage?

Mathedings Nr. 19 - Pokerchips shufflen

18. April 2012

Na sowas! Da habe ich doch vorgestern das Mathedings vergessen! Diesmal also mit zwei Tagen Verspätung:

Wir sind heute am Pokertisch: Da vielen Pokerspielern beim Rumsitzen irgendwann langweilig wird, spielen sie ständig mit ihren Chips herum und "shufflen" sie. Man benötigt dafür einfach eine gerade Anzahl von Pokerchips. Ein Durchgang funktioniert so:

  1. Man hat einen Stapel mit einer geraden Anzahl vom Chips.
  2. Die obere Hälfte des Stapels wird abgehoben und rechts neben den Stapel gestellt, sodass wir einen rechten und einen linken Stapel haben.
  3. Die beiden Stapel werden mit einer geschickten Handbewegung nach dem Reißverschlussprinzip zu einem einzigen Stapel zusammengeschoben, wobei wir zwei Möglichkeiten betrachten: Entweder liegt der oberste Chip des rechten Stapels nun ganz oben, dann nennen wir dies den Rechts-Shuffle, sonst den Links-Shuffle.

Frage: Abhängig von der Anzahl der Chips und ob wir Rechts-Shuffle oder Links-Shuffle machen: Wie viele Durchgänge müssen wir durchführen, sodass die Reihenfolge der Chips wieder mit der Anfangsreihenfolge übereinstimmt?

Mathedings Nr. 18 - Zahlengitter

16. März 2012

Wir betrachten ein unendliches Gitter mit natürlichen Zahlen, also quasi eine Abbildung f : \mathbb{Z}^2 \rightarrow \mathbb{N} . Die Verteilung der Zahlen habe die Eigenschaft, dass jede Zahl genau der Mittelwert der vier umliegenden Zahlen ist, also für alle x, y \in \mathbb{Z} gilt f(x,y) = \frac{1}{4} \cdot (f(x+1,y) + f(x,y+1) + f(x-1,y) + f(x,y-1)) . Es gelte außerdem f(0,0) = 10301 .

Was lässt sich unter diesen Voraussetzungen über f(17,31) sagen?

Mathedings Nr. 17 - Teilfolgenoperator

16. Februar 2012

Betrachten wir eine streng monoton steigende Folge von natülichen Zahlen, also (a_n)_{n \in \mathbb{N}} mit a_1 < a_2 < a_3 < \ldots und a_i \in \mathbb{N} für alle i \in \mathbb{N} . Sei A die Menge all dieser Folgen. Wir können die Elemente von A auch problemlos mit unendlichen Teilmengen der natürlichen Zahlen identifizieren, die Auffasssung als Folge dient nur der folgenden Definition:

Und zwar definieren wir jetzt unseren Teilfolgenoperator: T:A \rightarrow A mit T((a_n)_{n \in \mathbb{N}}) := (a_{a_n})_{n \in \mathbb{N}} .

Wir bilden also eine Teilfolge (bzw. Teilmenge), deren Indizes gerade durch die Folge selbst gegeben werden.

Bemerkung: T ist kein Operator im Sinne der Funktionalanalysis, aber da T Folgen auf Folgen abbildet war die Namensgebung naheliegend.

Und die Fragen lauten (mal wieder): Ist T injektiv und ist T surjektiv?

 

Mathedings Nr. 16 - Anteilnahme

16. Januar 2012

In Mathdings Nr. 4 ging es einmal um eine Funktion, die einer Teilmenge von \mathbb{N} quasi ihren "Anteil" in \mathbb{N} zugeordnet hat:

f(S) := \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\#\{s \in S : s \leq n\} \cdot \frac{1}{n}}

Mir war damals leider gar nicht aufgefallen, dass diese Funktion nicht wohldefiniert ist. Tatsächlich gibt es Mengen, für die der Grenzwert auf der rechten Seite nicht existiert. Wir wollen uns daher heute das Mengensystem D = \{S \subseteq \mathbb{N} : f(S) \text{ ist definiert}\} genauer ansehen.

(1) Zeige: S \subseteq \mathbb{N}, |S| < \infty \Rightarrow f(S) = 0 , aber die Umkehrung gilt nicht.

(2) Nenne eine Menge S \subseteq \mathbb{N} mit S \notin D .

(3) D ist ein seltsames Mengensystem. Es gibt nämlich A, B \in D , sodass A \cup B \notin D . Kannst Du solche Mengen A und B nennen?

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