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Mathedings Nr. 16

16. Januar 2012

In Mathdings Nr. 4 ging es einmal um eine Funktion, die einer Teilmenge von $\mathbb{N}$ quasi ihren "Anteil" in $\mathbb{N}$ zugeordnet hat:

$$f(S) := \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\#\{s \in S : s \leq n\} \cdot \frac{1}{n}}$$

Mir war damals leider gar nicht aufgefallen, dass diese Funktion nicht wohldefiniert ist. Tatsächlich gibt es Mengen, für die der Grenzwert auf der rechten Seite nicht existiert. Wir wollen uns daher heute das Mengensystem $D = \{S \subseteq \mathbb{N} : f(S) \text{ ist definiert}\}$ genauer ansehen.

(1) Zeige: $S \subseteq \mathbb{N}, |S| < \infty \Rightarrow f(S) = 0$, aber die Umkehrung gilt nicht.

(2) Nenne eine Menge $S \subseteq \mathbb{N}$ mit $S \notin D$.

(3) $D$ ist ein seltsames Mengensystem. Es gibt nämlich $A, B \in D$, sodass $A \cup B \notin D$. Kannst Du solche Mengen $A$ und $B$ nennen?

Mathedings Nr. 15

16. Dezember 2011

Heute mal eine Aufgabe für Zwischendurch:

Zeige, dass man aus einer Menge von n natürlichen Zahlen (ohne Null) einige (mindestens eine) so auswählen kann, dass die Summe der ausgewählten Zahlen durch n teilbar ist.

Einen Tisch kaputt machen

5. Dezember 2011

Habt ihr schonmal mit Absicht einen Tisch kaputt gemacht? Wahrscheinlich nicht. Warum auch?

Um einen Tisch kaputt zu machen braucht man eigentlich ziemlich gute Gründe, sonst würde man doch nicht einfach ein mit viel Arbeit hergestelltes Möbelstück mutwillig zerstören. Wenn man wirklich mal einen Tisch kaputt machen sollte, dann sollte sich diese Handlung als einzige zwingend logische Konsequenz aus der vorangegangenen Situation heraus begründen lassen. Ein gutes Beispiel dafür seht ihr in folgendem Video:

Mathedings Nr. 14

16. November 2011

Wir machen Urlaub in Taiwan, unser Flugzeug ist in Hamburg gestartet und nach über 20 Stunden Flug mit Zwischenstopps in London und Hong Kong endlich in Taipei gelandet. Völlig erschöpft und müde warten wir an der Gepäckausgabe auf unseren Koffer, doch eine bittere Enttäuschung erwartet uns: Unser Koffer ist verloren gegangen!

Sei p die (an jedem Flughafen gleich große) Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Koffer beim Verladen verloren geht. Unser Koffer könnte also entweder in Hamburg, oder in London, oder in Hong Kong liegen. Wir wollen der Sache auf den Grund gehen: Bei welchem Flughafen sollten wir zuerst nachforschen, um mit möglichst großer Wahrscheinlichkeit unseren Koffer wieder zu finden? Oder sind alle drei Möglichkeiten gleich wahrscheinlich?

Was spielt ein Minecraft-Programmierer?

25. Oktober 2011

Minecraft ist ein so tolles Spiel! Völlig zu Recht hat Minecraft mehrere Millionen Fans und gilt es in der Computerspiel-Szene als größter Indie-Hit des Jahres 2010. Doch woher holen die Programmierer sich die Kreativität und die Ideen für das Spiel? Was machen sie in ihrer Freizeit?

Ich habe vor Kurzem die Antwort entdeckt. Bei einer Fragerunde zu Minecraft aus der Entwicklerperspektive hat Jeb ein Indiz darauf gegeben, welches Spiel ein Minecraft-Programmierer in seiner Freizeit spielt.

Und das tolle ist: Seit zwei Tagen bin ich nun auch dabei. Spiele mit "craft" sind einfach immer toll!

Mathedings Nr. 13

16. Oktober 2011

Definition:

• Sei I das abgeschlossene Einheitsintervall. Eine differenzierbare Kurve $\alpha : I \rightarrow \mathbb{R}^n$ mit Bogenlänge 1 heißt normierter n-dimensionaler Wurm.
• Eine Teilmenge H von $\mathbb{R}^n$ heißt ultimatives n-dimensionales Wurmhaus, falls jeder normierte n-dimensionale Wurm $\alpha$ komplett in H untergebracht werden kann.*

*Damit ist gemeint, dass das Bild der Kurve durch eine Drehung und Verschiebung komplett nach $H$ gebracht werden kann. Mathematisch ausgedrückt: Falls zwei Abbildungen $f, g : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$, exisiteren mit folgenden Eigenschaften:
- f ist lineare Abbildung mit orthogonaler Darstellungsmatrix A und $\det A = 1$.
- $g(x) = x + c$ für ein $c \in \mathbb{R}^n$.
- $f(g(\alpha(I))) \subseteq H$

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Frage:
Welches Volumen muss ein ultimatives n-dimensionales Wurmhaus H mindestens haben und wie genau sieht H aus?